02/09/2014

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Dạng 1: Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (\alpha) ta chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (\alpha).

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCDSA=SB=SC và đáy ABC là tam giác có trọng tâm G. Chứng minh SG \bot mp(ABC)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Vẽ SH \bot mp(ABC),H \in (ABC)

Bước 2: Xét các tam giác vuông ở H: HSA,HSB,HSC

  • SH chung
  • SA=SB=SC

\Rightarrow \Delta HSA = \Delta HSB = \Delta HSC \Rightarrow HA = HB = HC \Rightarrow H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bước 3: Tam giác ABC là tam giác đều nên trọng tâm truùngvới tâm đường tròn ngoại tiếp ngiã là G \equiv H. Vậy SG \bot mp(ABC) (đpcm)

Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Phương pháp:

  • Tìm giao điểm A của d(\alpha).
  • Lấy B\in d và xác định hình chiếu (vuông góc ) của B lên mp(\alpha)

Vậy góc giữa d và mp(\alpha)\alpha=\widehat{HAB}

Chú ý:

  • Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a thì cạnh huyền bằng a\sqrt{2}
  • Tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a thì cạnh góc vuông bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}
  • Hình vuông có cạnh bằng a thì đường chéo bằng a\sqrt{2}
  • Hình vuông có đường chéo bằng a thì cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng aSA \bot (ABCD). Biết SA=\frac{a\sqrt 6}{3}.

Tính góc giữa SCmp(ABCD).

Hướng dẫn giải:

  • Vì AC là hình chiếu (vuông góc) của SC lên mp(ABCD) nên góc giữa SCmp(ABCD)\widehat{SCA}
  • Tam giác SAC vuông tại A. ta có :

\tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\frac{a\sqrt 6}{3}}{a\sqrt 2}=\frac{\sqrt 3}{3}

\widehat{SCA}=30^0

Speak Your Mind

*