24/07/2014

Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất – Học toán từ sách giáo khoa như thế nào?

Tác giả: Nguyễn Tất Thu.

Trong bài viết này tôi xin được trao đổi một ít kinh nghiệm và việc khai thác những kiến thức ở SGK để sáng tạo ra các bài toán mới và tìm được các phương pháp giải toán mới. Qua đó học sinh sẽ nắm kiến thức tốt hơn và tạo được sự hứng thú học tập góp phần nâng cao hiệu quả việc dạy và học Toán.

Tôi xin lấy nội dung tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất làm ví dụ
Khi khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất ta có tính đồng biến, nghịch biến của nó được thể hiện qua định lí.

Định lí: Hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi .
Về mặt nội dung cũng như hình thức thì đây là một định lí đơn giản và chắc có lẽ là học sinh nào cũng nắm được. Vì sự đơn giản đó nên chúng ta ít tìm cách khai thác nó và thông thường chúng ta chỉ vận dụng nó vào các bài toán xét tính đơn điệu của hàm bậc nhất. Tuy nhiên nếu chúng ta biết cách nhận xét những đặc trưng của nó ta sẽ tìm được nhiều kết quả thú vị.

Nhận xét 1: Từ định lí trên ta suy ra được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số cụ thể :
* Nếu thì hàm số là hàm đồng biến.
* Nếu thì hàm số là hàm nghịch biến.
Ta lưu ý rằng hàm đồng biến có nghĩa là . Vậy từ nhận xét trên ta suy ra được: , kết quả này gợi ý cho chúng ta suy nghĩ đến các bài toán phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình: .
Giải: Đk:
Đặt , theo nhận xét ta có là hàm đồng biến và .
* Với vô nghiệm
* Với vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: .
Giải: Đk:
Gọi lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (2)
Ta có là một hàm đồng biến và là hàm nghịch biến, đồng thời .
*Với nghiệm đúng.
*Với vô nghiệm.
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:
Tùy thuộc vào trình độ của học trò mà ta có thể ra nhưng bài mức độ khó khác nhau.

Ví dụ 3: Giải phương trình:
.
Giải:
Ta có:
Đặt , với điều kiện . Khi đó ta có .
Với , dễ thấy là hàm đồng biến
* Nếu
* Nếu
Do vậy .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm .
Với cách làm tương tự ta có thể tự sáng tác được nhiều bài toán mới hay và khó.

Nhận xét 2: Từ định lí ta có thể tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc nhất trên đoạn, cụ thể.
Cho hàm số
* Nếu thì
* Nếu thì
Tóm lại:
.
Vận dụng nhận xét này ta có thể giải quyết được các bài toán cực trị và bất đẳng thức

Ví dụ 4:
Tìm để
Giải:
Ta có

Ví dụ 5:
Tìm giá trị nhỏ nhất của trên .
Giải:
Đặt . Khi đó ta được

Chú ý:
Nếu vận dụng hai tính chất thì ta có được.

Do đó ta có thể làm cho bài toán trên trở thành khó hơn bằng cách thay đổi câu hỏi như sau.
“ Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên nhỏ nhất”

Với cách làm tương tự trên ta có thể ra thêm những bài toán có dạng “Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn nhỏ nhất” với điều kiện ta có thể đặt ẩn phụ và tập giá trị của là một đoạn đồng thời trở thành một hàm bậc nhất theo ẩn .
Đối với học sinh khá ta có thể xét thêm các ví dụ về Bất Đẳng Thức.

Ví dụ 6:
Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Giải:
Không mất tính tổng quát ta giả sử
Ta có: Đặt ,
là hàm đồng biến trên
(Đẳng thức xảy ra khi và các hoán vị)

Đẳng thức xảy ra . Vậy .
Ví dụ 7:
Cho là các số thực không âm và có tổng bằng . Chứng minh rằng
Giải:
Đặt .
Giả sử .
Ta có đẳng thức:
Xét hàm số
là một hàm nghịch biến trên do vậy: .
Đẳng thức xảy ra . Và . Đẳng thức xảy ra và các hoán vị.

Qua đây chúng ta thấy xuất phát từ một định lí đơn giản nhưng nếu chúng ta biết cách nhận xét và khai thác những tính chất đặc trưng ta có được những kết quả thú vị. Hi vọng các bạn có thể khai thác được nhiều tính chất và bài toán thú vị nữa. (Theo math.vn)

Speak Your Mind

*