• Chào mừng các bạn đến Diễn đàn Ebook Toán.
  • Đăng ký thành viên khi thật sự cần thiết, admin sẽ active account cho các bạn.
  • Cần tải file dùng user: demoet pass: 123456
Xin chào quý khách! Đăng nhập Đăng ký


Đánh giá chủ đề:
  • 1 Votes - 5 Average
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2013
#1
post_new 
[size=4]NGÀY THI THỨ NHẤT (11/01/2013)[/size]
Bài 1. (5,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\sin^2x+\dfrac{1}{\sin^2x}}+\sqrt{\cos^2y+\dfrac{1}{\cos ^2y}}=\sqrt{\dfrac{20y}{x+y}} \textbf{ (1)}\\ \sqrt{\sin^2y+\dfrac{1}{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\dfrac{1}{\cos ^2x}}=\sqrt{\dfrac{20x}{x+y}} \textbf{ (2)} \end{matrix}\right.$$

Bài 2. (5,0 điểm)
Cho dãy số xác định như sau:
$$\left \{ \begin{matrix} a_1&=&1 &\\a_{n+1}&=&3-\dfrac{a_n+2}{2^{a_n}}&, \forall n \geq 1 \end{matrix}\right. $$
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định.

Bài 4. (5,0 điểm)
Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?
b) Các số cho trước là: $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải.
Thêm hạt muối cho đại dương mênh mông.
Tôi luôn muốn Ebook Toán tồn tại và phát triển. Còn bạn?
 
Reply
#2
NGÀY THI THỨ HAI (12/01/2013)

Bài 5. (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$

Bài 6. (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Bài 7. (6,0 điểm)
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
$$\left \{ \begin{array}{l} ab + a'b' \equiv 1\textbf{(mod 15) (1)}\\ ac + a'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (2)}\\ bc + b'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (3)} \end{array} \right.$$
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,...,14 \right\}$.
Thêm hạt muối cho đại dương mênh mông.
Tôi luôn muốn Ebook Toán tồn tại và phát triển. Còn bạn?
 
Reply
  


Có thể liên quan đến chủ đề
Chủ đề: Tác giả Trả lời: Xem: Bài mới nhất
  Đề thi - đáp án thi học sinh giỏi môn toán lớp 10 - Hà Tỉnh sieuleed 0 593 04-04-2014, 03:45 PM
Bài mới nhất: sieuleed
Shocked Kho đề thi học sinh giỏi VN và khu vực nhutminh 0 821 15-07-2013, 06:45 AM
Bài mới nhất: nhutminh
Star LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO NĂM 2013 admin 0 883 17-05-2013, 09:32 PM
Bài mới nhất: admin
Smile Đề thi Olympic Toán Sinh Viên năm 2013 sieuleed 2 1,473 13-04-2013, 03:42 PM
Bài mới nhất: sieuleed
Big Grin Đề thi, đáp án MTBT 2013 toàn quốc - Môn Toán THPT Thầy Đồ 1 1,173 28-03-2013, 04:52 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ
help Đề thi, đáp án MTBT 2013 toàn quốc - Môn Toán GDTX Thầy Đồ 2 941 28-03-2013, 04:51 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ
Sad Đề thi Olympic Toán Trung Quốc 2013 sieuleed 0 735 14-02-2013, 10:49 AM
Bài mới nhất: sieuleed
help Đề thi Olympic Toán Anh Quốc 2013 sieuleed 0 699 14-02-2013, 10:49 AM
Bài mới nhất: sieuleed
  Đề thi học sinh giỏi chuyên Đại Học Vinh admin 0 937 13-11-2012, 10:56 PM
Bài mới nhất: admin
post_new ĐỀ THI, đáp án HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 TỈNH An Giang (V1) NĂM 2012-2013 Thầy Đồ 0 1,791 08-11-2012, 10:36 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ

Chuyển nhanh:


Browsing: 1 Guest(s)