Đăng chủ đề  Đăng  trả lời 
 
Đánh giá chủ đề:
  • 1 Votes - 5 Average
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2013
14-01-2013, 07:08 AM
Bài viết: #1
post_new Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2013
[size=4]NGÀY THI THỨ NHẤT (11/01/2013)[/size]
Bài 1. (5,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\sin^2x+\dfrac{1}{\sin^2x}}+\sqrt{\cos^2y+\dfrac{1}​{\cos ^2y}}=\sqrt{\dfrac{20y}{x+y}} \textbf{ (1)}\\ \sqrt{\sin^2y+\dfrac{1}{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\dfrac{1}{\cos ^2x}}=\sqrt{\dfrac{20x}{x+y}} \textbf{ (2)} \end{matrix}\right.$$

Bài 2. (5,0 điểm)
Cho dãy số xác định như sau:
$$\left \{ \begin{matrix} a_1&=&1 &\\a_{n+1}&=&3-\dfrac{a_n+2}{2^{a_n}}&, \forall n \geq 1 \end{matrix}\right. $$
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định.

Bài 4. (5,0 điểm)
Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?
b) Các số cho trước là: $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải.

Thêm hạt muối cho đại dương mênh mông.
Tôi luôn muốn Ebook Toán tồn tại và phát triển. Còn bạn?
Tham quan website của thành viên này Tìm tất cả bài viết của thành viên này
Trích dẫn bài này trong bài trả lời
14-01-2013, 07:08 AM (Được chỉnh sửa: 14-01-2013 07:09 AM bởi admin.)
Bài viết: #2
RE: Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2013
NGÀY THI THỨ HAI (12/01/2013)

Bài 5. (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$

Bài 6. (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Bài 7. (6,0 điểm)
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
$$\left \{ \begin{array}{l} ab + a'b' \equiv 1\textbf{(mod 15) (1)}\\ ac + a'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (2)}\\ bc + b'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (3)} \end{array} \right.$$
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,...,14 \right\}$.

Thêm hạt muối cho đại dương mênh mông.
Tôi luôn muốn Ebook Toán tồn tại và phát triển. Còn bạn?
Tham quan website của thành viên này Tìm tất cả bài viết của thành viên này
Trích dẫn bài này trong bài trả lời
Đăng chủ đề  Đăng  trả lời 


Có thể liên quan đến chủ đề
Chủ đề: Tác giả Trả lời: Xem: Bài mới nhất
  Đề thi - đáp án thi học sinh giỏi môn toán lớp 10 - Hà Tỉnh sieuleed 0 265 04-04-2014 03:45 PM
Bài mới nhất: sieuleed
Shocked Kho đề thi học sinh giỏi VN và khu vực nhutminh 0 536 15-07-2013 06:45 AM
Bài mới nhất: nhutminh
Star LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO NĂM 2013 admin 0 628 17-05-2013 09:32 PM
Bài mới nhất: admin
Smile Đề thi Olympic Toán Sinh Viên năm 2013 sieuleed 2 990 13-04-2013 03:42 PM
Bài mới nhất: sieuleed
Big Grin Đề thi, đáp án MTBT 2013 toàn quốc - Môn Toán THPT Thầy Đồ 1 798 28-03-2013 04:52 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ
help Đề thi, đáp án MTBT 2013 toàn quốc - Môn Toán GDTX Thầy Đồ 2 573 28-03-2013 04:51 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ
Sad Đề thi Olympic Toán Trung Quốc 2013 sieuleed 0 465 14-02-2013 10:49 AM
Bài mới nhất: sieuleed
help Đề thi Olympic Toán Anh Quốc 2013 sieuleed 0 446 14-02-2013 10:49 AM
Bài mới nhất: sieuleed
  Đề thi học sinh giỏi chuyên Đại Học Vinh admin 0 769 13-11-2012 10:56 PM
Bài mới nhất: admin
post_new ĐỀ THI, đáp án HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 TỈNH An Giang (V1) NĂM 2012-2013 Thầy Đồ 0 1,421 08-11-2012 10:36 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ

Chuyển nhanh:


User(s) browsing this thread: 1 Guest(s)