Đăng chủ đề  Đăng  trả lời 
 
Đánh giá chủ đề:
  • 0 Votes - 0 Average
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Phương pháp đổi biến số - Nguyên hàm
24-04-2013, 02:56 PM (Được chỉnh sửa: 24-04-2013 10:15 PM bởi Thầy Đồ.)
Bài viết: #1
Star Phương pháp đổi biến số - Nguyên hàm
Phương pháp đổi biến số
ĐỊNH LÍ
         Cho hàm số $u = u\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ liên tục sao cho $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ xác định trên $K$. Khi đó nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$, tức là 
$\int {f(u)du = F(u) + C} $  thì:
$\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} u'\left( x \right)dx = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C$                               (1)
CHÚ Ý 
         Trong thực hành, ta thường viết tắt $F\left[ {u\left( x \right)} \right]$ là $F\left( u \right)$,$f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ là $f\left( u \right)$ và coi du là vi phân của hàm số $u = u\left( x \right)$ (nghĩa là $du = du\left( x \right) = u'\left( x \right)dx$)
Khi đó, công thức(1) được viết như sau
$\begin{gathered}
 \int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} u'\left( x \right)dx = \int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} du\left( x \right) = \int {f\left( u \right)} du   \\
 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,​ = F\left( u \right) + C = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C   \\
\end{gathered} $                    (2)
Ví dụ. Tìm ${\int {\left( {2x + 1} \right)} ^4}dx$.
Giải: Ta có ${\left( {2x + 1} \right)^4}dx = \frac{1}{2}{\left( {2x + 1} \right)^4}\left( {2x + 1} \right)'dx = \frac{1}{2}{\left( {2x + 1} \right)^4}d\left( {2x + 1} \right)$
Đặt$u = u\left( x \right) = 2x + 1$. Áp dụng công thức (2), ta có
$\begin{gathered}
 {\int {\left( {2x + 1} \right)} ^4}dx = \int {\frac{1}{2}} {\left( {2x + 1} \right)^4}d\left( {2x + 1} \right) = \int {\frac{1}{2}} {u^4}du = \frac{1}{2}\int {{u^4}du} .   \\
 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\frac{1}{5}{u^5} + C = \frac{1}{{10}}{\left( {2x + 1} \right)^5} + C   \\
\end{gathered} $
Trích dẫn bài này trong bài trả lời
 Những người đã cảm ơn nhutminh
24-04-2013, 03:03 PM (Được chỉnh sửa: 24-04-2013 10:16 PM bởi Thầy Đồ.)
Bài viết: #2
RE: Phương pháp đổi biến số - Nguyên hàm
Trích dẫn:Sau đây là bài tập áp dụng tôi đưa ra bài tập từ dễ đến khó (ít thôi dành nhiều BT cho tích phân)
1. Tính $\int{\frac{x+2}{x^2+4x+3}} $
Đặt $u=x^2+4x+3$, suy ra:
       $du=(2x+4)dx=2(x+2)dx \leftrightarrow (x+2)dx=\frac{1}{2}du $
Từ đó:
       $\int\limits \frac{(x+2)dx}{x^2+4x+3} =\frac{1}{2}\int\limits \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|=\frac{1}{2}\ln|x^2+4x+3|+C    $

2. Tính $\int{\frac{\sin(2x+1)}{\cos^2(2x+1)}} $
Đặt $u=\cos(2x+1)$, suy ra:
       $du=-2\sin(2x+1)dx \leftrightarrow \sin(2x+1)=-\frac{1}{2}du $
Từ đó:
       $\int\limits \frac{\sin(2x+1)dx}{\cos^2(2x+1)}=-\frac{1}{2}\int\limits \frac{du}{u^2}=\frac{1}{2u}+C=\frac{1}{2\cos(2x+1)}+C      $

3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
$f(x)=\sin^3x \sqrt{\cos x} $
Ta thực hiện phép biến đổi:
       $\int\limits \sin^3x. \sqrt{\cos x}.dx=\int\limits \sin^2x .\sqrt{\cos x}.sin x.dx=\int\limits (1-\cos^2x).\sqrt{\cos x}.sin x.dx $
Đặt $t=\sqrt{\cos x} $, suy ra:
       $t^2=\cos x \Rightarrow  2tdt=-\sin x.dx \Leftrightarrow -2tdt=\sin x.dx$
Khi đó
       $\int\limits \sin^3x \sqrt{\cos x}dx=\int\limits (1-t^4).t.(-2tdt)=2 \int\limits (t^6-t^2)dt$
                                   $=2(\frac{1}{7}t^7-\frac{1}{3}t^3)+C=\frac{2}{21}(3t^6-7t^2)t+C= \frac{2}{21}(3\cos^3x-7\cos x)\sqrt{\cos x}+C    $
Trích dẫn bài này trong bài trả lời
 Những người đã cảm ơn nhutminh
24-04-2013, 06:25 PM (Được chỉnh sửa: 24-04-2013 10:17 PM bởi Thầy Đồ.)
Bài viết: #3
RE: Phương pháp đổi biến số - Nguyên hàm
4. Tính: $ N = \int\limits (2x^3 +7)^3 x^2dx .$
Đặt $t = 2x^3 + 7 \Rightarrow   dt = 6x^2dx \Rightarrow x^2dx = \frac{dt}{6}$
$\Rightarrow N = \int\limits t^3 \frac{dt}{6} = \frac{t^4}{24} + C = \frac{1}{24} (2x^3 + 7)^4 + C. $

5. Tính $M = \int\limits \frac{dx }{x\ln x.\ln(\ln x)}$
Đặt $t=\ln (\ln x) \Leftrightarrow dt=\frac {dx}{xlnx}$$ \Rightarrow M =\int\limits \frac{dt}{t} = \ln |t| + C = \ln |t| + C = \ln |\ln (\ln x) | + C.$

6.Tính nguyên hàm của $I=\int\limits \frac{\cos^2 xdx}{\sin^4 x} $
Ta có $\int\limits \frac{\cos^2 xdx}{\sin^4 x}=\int\limits \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}  (\frac{dx}{\sin^2 x}) $$=\int\limits \cot^2 x(-d\cot x)= -\int\limits \cot^2 x d(\cot x) $
$=-\frac{1}{3}\cot^3 x+C $
Trích dẫn bài này trong bài trả lời
 Những người đã cảm ơn nhutminh
24-04-2013, 06:32 PM (Được chỉnh sửa: 24-04-2013 10:17 PM bởi Thầy Đồ.)
Bài viết: #4
RE: Phương pháp đổi biến số - Nguyên hàm
7. Tìm nguyên hàm của : $J = \int\limits \frac{sin^5xdx}{cos^4x}.$
Đặt  $ t= \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx $
$\Rightarrow J = - \int\limits \frac{\sin ^4 x}{\cos ^4 x}(-\sin x)dx = - \int\limits \frac{(1-t^2)^2dt}{t^4} = - \int\limits \frac{1-2t^2+t^4}{t^4} dt$
$= \int\limits (2t^{-2} - t^{-4} +1)dt = -\frac{2}{t} + \frac{1}{3t^3} +t + C$
$= \cos x - \frac{2}{\cos x } + \frac{1}{3 \cos ^3 x}  + C.$

8. Tìm nguyên hàm: $\int\limits \tan ^3 xdx$
Ta có  :  $\int\limits \tan ^3 xdx = \int\limits \frac{(1-\cos ^2x)\sin x}{\cos ^3 x}dx$
Đặt $t = \cos x           \Rightarrow dt = -\sin xdx$
Lúc này :  $\int\limits \tan ^3 xdx = - \int\limits \frac{1-t^2}{t^3}dt = \int\limits \left ( \frac{1}{t} - t^{-3}  \right )dt = \ln |t| - \frac{t^{-2}}{-2} + C$
$= \ln |\cos x| + \frac{1}{2\cos ^2 x} + C$

9. Tính: $\int\limits \frac{1}{1-x^2} \ln \frac{1+x}{1-x}dx$
Đặt $ t = \ln \frac{1+x}{1-x} \Rightarrow dt = \frac{\left ( \frac{1+x}{1-x}  \right ) }{\frac{1+x}{1-x} } dx= \frac{2}{1-x^2}dx$
Do đó  : $ \int\limits \frac{1}{1-x^2}\ln \frac{1+x}{1-x}dx = \frac{1}{2} \int\limits tdt = \frac{t^2}{4} + C = \frac{1}{4}\ln^2 \frac{1+x}{1-x} +C.$
Trích dẫn bài này trong bài trả lời
 Những người đã cảm ơn nhutminh
24-04-2013, 06:36 PM (Được chỉnh sửa: 24-04-2013 10:18 PM bởi Thầy Đồ.)
Bài viết: #5
RE: Phương pháp đổi biến số - Nguyên hàm
10. Tính: $I=\int\limits x^3 {\sqrt[3]{1+x^2}}dx $
Đăt  $t={\sqrt[3]{1+x^2}} \Rightarrow  t^3=x^2+1 \Rightarrow   x^2=t^3-1 $;  $3t^2dt=2xdx$
Vậy : $I=\frac{3}{2}\int\limits (t^3-1)t^3dt=\frac{3}{2}\int\limits (t^6-t^3)dt  $
$I=\frac{3t^7}{14}-\frac{3t^4}{8}+C=\frac{3{\sqrt[3]{(1+x^2)^7}}}{14}-\frac{3{\sqrt[3]{(1+x^2)^4}}}{8}+C  (ycbt)    $

11. Tích: $I=\int\limits x\cos {\sqrt{x}} dx$
Đặt : $t= {\sqrt{x}} \Rightarrow  t^2=x \Rightarrow  dx=2tdt \Rightarrow  I=2 \int\limits t^3\cos tdt$
Sử dụng tích phân từng phần liên tiếp (ba lần) như sau:
Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u=t^3\\ dv=\cos tdt \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l} u_1=t^2\\ dv_1=\sin tdt \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l} u_2=t\\ dv_2=\cos tdt \end{array} \right.   $

Ta có :$I=6(x-2)\cos {\sqrt{x}} +2 {\sqrt{x}} (x-6\sin {\sqrt{x}} )+C (ycbt)$

12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số : $f(x)= \frac{\sin x}{1+\sin 2x} $
Xét : $F(x)=\int\limits \frac{\sin x}{1+\sin 2x}dx=\frac{1}{2}\int\limits \frac{(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}dx   $
$=\frac{1}{2}\int\limits \frac{dx}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}\int\limits \frac{(\cos x-\sin x)dx}{(\sin x+\cos x)^2}    $
Tính : $I_1= \frac{1}{2}\int\limits \frac{dx}{\sin x+\cos x}  $.Đặt $t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow  dx=\frac{2dt}{1+t^2}; \sin x+\cos x=\frac{-t^2+2t+1}{1+t^2}  $
Lúc đó : $I_1 =\frac{1}{2}\int\limits \frac{2dt}{-t^2+2t+1}=\frac{1}{4 {\sqrt{2}} }\int\limits (\frac{1}{t-1- {\sqrt{2}} }- \frac{1}{t-1+ {\sqrt{2}} }  )dt   $
$ \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{t - 1 - \sqrt 2 }}{{t - 1 + \sqrt 2 }}} \right| + {C_1} = \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\tan \frac{x}{2} - 1 - \sqrt 2 }}{{\tan \frac{x}{2} - 1 + \sqrt 2 }}} \right| + {C_1}\,\,(1)$
Tính : $I_2=\frac{1}{2}\int\limits \frac{(\cos x-\sin x)dx}{(\sin+\cos x)^2}=\frac{1}{2} \int\limits \frac{d(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)^2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sin x+\cos x}+C_2  (2)     $
Từ $(1)  và  (2)  $ :
$F(x)= \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\tan \frac{x}{2} - 1 - \sqrt 2 }}{{\tan \frac{x}{2} - 1 + \sqrt 2 }}} \right|+\frac{1}{2}\frac{1}{\sin x+\cos x}+ C(ycbt)   $
Trong đó $C=C_1-C_2 :$ là hằng số tùy ý
Trích dẫn bài này trong bài trả lời
 Những người đã cảm ơn nhutminh
Đăng chủ đề  Đăng  trả lời 


Có thể liên quan đến chủ đề
Chủ đề: Tác giả Trả lời: Xem: Bài mới nhất
  Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên $(-\infty;a); (a;+\infty)$ Thầy Đồ 4 1,123 14-09-2013 04:35 PM
Bài mới nhất: phankhoahoc
Tongue Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên (a;b) Thầy Đồ 5 3,581 20-08-2013 08:05 AM
Bài mới nhất: Thầy Đồ
Big Grin Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên D Thầy Đồ 22 1,331 15-08-2013 10:16 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ
Star Sự đồng biến nghịch, nghịch biến Hàm số Thầy Đồ 1 796 15-08-2013 09:17 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ
Rainbow PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Thầy Đồ 3 3,207 02-05-2013 03:17 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ
icon2 Phương pháp đổi biến số - Tích Phân Thầy Đồ 0 519 02-05-2013 03:10 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ
Shocked Phương pháp từng phần - Nguyên Hàm Thầy Đồ 4 1,584 24-04-2013 10:09 PM
Bài mới nhất: Thầy Đồ

Chuyển nhanh:


User(s) browsing this thread: 1 Guest(s)