Lý thuyết

1. Định nghĩa

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.

  • Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).
  • Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

  • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
  • Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

  • Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
  • Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
  • Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

  • Bước 1: Tìm tập xác định
  • Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.