Lý thuyết

1. Khái niệm lũy thừa

a) Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho \(n\) là một số nguyên dương.

  • Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a……a}_n\)
  • Với \(a\ne0\):
    • ​\(a^0=1\)
    • ​\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.

  • Chú ý: 
    • \(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.
    • Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

c) Lũy thừa với số mũ thực

Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).

2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa

Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:

  • \(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)
  • \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)
  • \((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)
  • \(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)
  • \((a.b)^x=a^x.b^x\)
  • \(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)

3. So sánh hai lũy thừa

Cho số thực \(a\):

  • Nếu \(a>1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x>y\).
  • Nếu \(0<a<1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x<y\).