Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Ví dụ 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

  • Xét hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’ = 3{x^2} + 6x + m\)
  • Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y’ \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 – 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\).
  • Kết luận: với \(m\geq 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).

Lời giải:

  • Xét hàm số \(y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\).
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’ = 6{x^2} – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\)
    • \(\Delta = {(2m + 1)^2} – 4({m^2} + m) = 1 > 0\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\)
  • Do \(m<m+1\) nên ta có bảng biến thiên:

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - toán 12

  • Hàm số đồng biến trong các khoảng \(( – \infty ;m),\,\,(m + 1; + \infty )\).
  • Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\) khi \(m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\)